• Što je brojevni sustav?
• Nepozicijski brojevni sustavi
• Polupozicijski brojevni sustavi
• Pozicijski brojevni sustavi

Objašnjavamo što je sustav numeriranja i proučavamo karakteristike svake vrste sustava, kroz primjere iz različitih kultura.

Svaki brojevni sustav sadrži određeni i konačan skup simbola.

Što je brojevni sustav?

Brojevni sustav je skup simbola i pravila kojima se može izraziti broj predmeta u broju. postaviti, odnosno kroz koji se mogu prikazati svi valjani brojevi. To znači da svaki brojevni sustav sadrži zadan i konačan skup simbola, plus zadan i konačan skup pravila po kojima ih treba kombinirati.

Sustavi brojeva bili su jedan od glavnih ljudskih izuma u antičko doba, a svaka od starih civilizacija imala je svoj sustav, vezan uz njezin način viđenja svijeta, odnosno uz svoju kulturu.

Općenito govoreći, sustavi numeriranja mogu se klasificirati u tri različite vrste:

• nepozicijski sustavi. To su oni kod kojih svaki simbol odgovara fiksnoj vrijednosti, bez obzira na poziciju koju zauzima unutar broja (pojavljuje li se prvi, s jedne strane ili poslije).
• Polupozicijski sustavi. To su oni kod kojih vrijednost simbola ima tendenciju biti fiksna, ali se može modificirati u određenim situacijama pojavljivanja (iako su to prilično iznimke). Shvaća se kao međusustav između pozicijskog i nepozicijskog.
• Pozicijski ili težinski sustavi.To su oni kod kojih je vrijednost simbola određena i njegovim vlastitim izrazom i mjestom koje zauzima unutar broja, pri čemu može vrijediti više ili manje ili izražavati različite vrijednosti ovisno o tome gdje se nalazi.

Također je moguće klasificirati sustave numeriranja na temelju broja koji koriste kao osnovu za svoje izračune. Tako je, primjerice, današnji zapadni sustav decimalni (budući da mu je baza 10), dok je sumerski sustav numeriranja bio šezdeseti (njegova je baza bila 60).

Nepozicijski brojevni sustavi

Nepozicijski sustavi bili su laki za naučiti, ali su zahtijevali brojne simbole.

Nepozicijski sustavi brojeva prvi su postojali i imali su najprimitivnije osnove: prste, čvorove na užetu ili druge metode bilježenja za koordiniranje skupova brojeva. Na primjer, ako brojite na prste jedne ruke, onda možete računati na cijele ruke.

U tim sustavima znamenke imaju vlastitu vrijednost, bez obzira na njihov položaj u lancu simbola, a da bi se formirali novi simboli, vrijednosti simbola moraju se zbrajati (zbog toga su poznati i kao aditivni sustavi). Ti su sustavi bili jednostavni, laki za naučiti, ali su zahtijevali brojne simbole za izražavanje velikih količina, tako da nisu bili posve učinkoviti.

Primjeri ovih vrsta sustava su:

• Egipatski brojevni sustav. Pojavio se oko trećeg tisućljeća pr. C., temeljio se na desetercu i koristio hijeroglifi različit za svaki red jedinica: jedan za jedinicu, jedan za deset, jedan za sto i tako dalje do milijuna.
• Aztečki brojevni sustav. Tipično za meksičko carstvo, imalo je 20 kao svoju bazu i koristilo je određene predmete kao simbole: zastava je iznosila 20 jedinica, pero ili nekoliko dlaka jednako je 400, torba ili vreća jednaka je 8 000, između ostalog.
• Grčki brojevni sustav.Točnije jonski, izumljen je i raširen u istočnom Sredozemlju od četvrtog stoljeća pr. C., zamjenjujući prethodno postojeći akrofonski sustav. Bio je to abecedni sustav, koji je koristio slova za označavanje brojeva, povezujući slovo s njegovim glavnim mjestom u abecedi (A=1, B=2). Tako je svakom broju od 1 do 9 dodijeljeno jedno slovo, svakoj desetici drugo određeno slovo, svakoj stotici još jedno slovo, dok nije korišteno 27 slova: 24 grčkog alfabeta i tri posebna znaka.

Polupozicijski brojevni sustavi

Polupoložni sustavi odgovarali su potrebama razvijenijeg gospodarstva.

Polupozicijski brojčani sustavi kombiniraju pojam fiksne vrijednosti svakog simbola s određenim pravilima pozicioniranja, pa se mogu shvatiti kao hibridni ili mješoviti sustav između pozicijskih i nepozicijskih. Oni uživaju u mogućnostima predstavljanja velikih brojeva, upravljanju redoslijedom brojeva i formalnim postupcima kao što je množenje, tako da predstavljaju korak naprijed u složenosti u usporedbi s nepozicijskim sustavima.

U velikoj mjeri, pojava polupozicijskih sustava može se shvatiti kao prijelaz prema učinkovitijem modelu numeriranja koji bi mogao zadovoljiti složenije potrebe razvijenijeg gospodarstva, poput onog velikih imperija klasične antike.

Primjeri ovog modela numeriranja su:

• Sustav rimskih brojeva. Nastala u rimskoj antici, preživjela je do danas. U ovom sustavu brojke su građene pomoću određenih velikih slova latinične abecede (I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, itd.), čija je vrijednost bila fiksna i djelovala je na temelju zbrajanja i oduzimanja, ovisno o gdje se pojavljuje simbol.Ako je simbol bio lijevo od simbola jednake ili manje vrijednosti (kao u II = 2 ili XI = 11), treba dodati ukupne vrijednosti; a ako je simbol bio lijevo od simbola više vrijednosti (kao u IX = 9 ili IV = 4), morali su se oduzeti.
• Klasični kineski brojevni sustav. Njegovi počeci sežu otprilike u 1500. pr. C. i vrlo je strog sustav okomitog predstavljanja brojeva kroz vlastite simbole, koji kombinira dva različita sustava: jedan za kolokvijalno i svakodnevno pisanje, a drugi za komercijalne ili financijske zapise. Bio je to decimalni sustav koji je imao devet različitih znakova koji su se mogli postaviti jedan pored drugoga kako bi dodali svoje vrijednosti, ponekad umetajući poseban znak ili izmjenjujući položaj znakova kako bi označili određenu operaciju.

Pozicijski brojevni sustavi

Sadašnji sustav numeriranja dolazi iz hinduističko-arapskog sustava.

Pozicijski brojevni sustavi najsloženiji su i najučinkovitiji od tri vrste brojevnih sustava koji postoje. Kombinacija odgovarajuće vrijednosti simbola i vrijednosti dodijeljene njihovim položajem omogućuje im izgradnju vrlo visokih brojki s vrlo malo znakova, dodavanjem i/ili množenjem vrijednosti svakog od njih, što ih čini svestranijim i modernijim sustavima.

Općenito, položajni sustavi koriste fiksni skup simbola i njihovom kombinacijom se proizvode ostale moguće figure, ad infinitum, bez potrebe za stvaranjem novih znakova, već inauguracijom novih stupaca simbola. Naravno, ovo implicira da greška u nizu također mijenja ukupnu vrijednost broja.

Prvi primjeri sustava ove vrste nastali su unutar velikih carstava ili najzahtjevnijih drevnih kultura u kulturnim i trgovačkim pitanjima, kao što je Babilonsko Carstvo drugog tisućljeća pr. C. Primjeri ove vrste sustava numeriranja su:

• Suvremeni decimalni sustav.Sa samo znamenkama od 0 do 9, omogućuje vam sastavljanje bilo kojeg broja, dodavanjem stupaca čija se vrijednost dodaje kako se pomičete udesno, imajući deset kao bazu. Dakle, dodavanjem simbola 1 možemo sastaviti 10, 195, 1958 ili 19589. Važno je pojasniti da korišteni simboli potječu od hinduističko-arapskih brojeva.
• Hindusko-arapski sustav brojeva. Izmislili su ga drevni indijski mudraci, a kasnije naslijedili muslimanski Arapi, stigao je na Zapad kroz Al-Andalus i na kraju zamijenio rimski brojevi tradicionalni. U ovom sustavu, sličnom modernom decimalu, jedinice od 0 do 9 predstavljene su posebnim glifovima, koji predstavljaju vrijednost svake pomoću linija i kutova. Sustav rada ovog sustava u osnovi je isti kao i moderni zapadni decimalni sustav.
• Mayanski brojevni sustav. Stvoren je za mjerenje vremena, umjesto za obavljanje matematičkih transakcija, a osnova mu je bila vigezimalna, a simboli odgovaraju kalendaru ove pretkolumbovske civilizacije. Likovi, grupirani 20 sa 20, prikazani su osnovnim znakovima (pruge, točkice i pužići ili školjke); a za prelazak na sljedeći rezultat, bod se dodaje na sljedećoj razini pisanja. Osim toga, Maje među prvima su upotrijebili broj nula.